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Primera visión de la geometría prehispánica

En nuestro siglo ha llegado a reconocerse que las culturas de Mesoamérica tenían sapiencia astronómica, calendárica y matemática.

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De este último aspecto pocos e ha analizado, y hasta el año de 1992 en que el matemático regiomontano Oliverio Sánchez inició estudios sobre los conocimientos geométricos del pueblo mexica, no se sabía nada de esta disciplina. En la actualidad se han analizado geométricamente tres monumentos prehispánicos y los hallazgos son sorprendentes: en sólo tres monolitos esculpidos, el pueblo mexica consiguió resolver la construcción de todos los polígonos regulares hasta de 20 lados (con excepción del nonacaidecágono), incluso los de número primo de lados, con notable aproximación. Además, resolvió ingeniosamente la trisección y pentasección de ángulos específicos para efectuar multitud de subdivisiones del círculo y dejó indicadores para abordar la solución de uno de los más complejos problemas de geometría: la cuadratura del círculo.

Recordemos que los egipcios, caldeos, griegos y romanos primero, y los árabes después, alcanzaron une levado nivel cultural y son considerados como los padres de las matemáticas y de la geometría. Retos específicos de geometría fueron abordados por los matemáticos de esas elevadas culturas de la antigüedad y sus conquistas se fueron transmitiendo de generación en generación, de pueblo a pueblo y de siglo en siglo hasta llegar a nosotros. En el sigloIII a.C., Euclides estableció los parámetros para el planteamiento y la solución de problemas de geometría como la construcción de polígonos regulares de diverso número de lados con el sólo recurso de la regla y el compás. Y, desde Euclides, tres han sido los problemas que han ocupado el ingenio de los grandes maestros de la geometría y las matemáticas: la duplicación de un cubo (construir una arista de un cubo cuyo volumen sea el doble del de un cubo dado), la trisección de un ángulo (construir un ángulo igual a un tercio de un ángulo dado) y la y la cuadratura del círculo (construir un cuadro cuyasuperficie sea igual a la de un círculo dado). Finalmente, en el siglo XIX de nuestra era y por intervención del “Príncipe de las Matemáticas”, Carl Friederich Gauss, se estableció la definitiva imposibilidad de resolver cualquiera de estos tres problemas con el sólo recurso de la regla y el compás.

CAPACIDAD INTELECTUAL PREHISPÁNICA

Todavía prevalecen resabios sobre la calidad humana y social de los pueblos prehispánicos como un lastre de las opiniones demeritadoras vertidas por conquistadores, frailes y cronistas que los consideraron bárbaros, sodomitas, antropófagos y sacrificadores de seres humanos. Afortunadamente, la selva y la montaña inaccesibles protegieron centros urbanos cuajados de estelas, dinteles y frisos esculpidos, que el tiempo y el cambio de las circunstancias humanas han colocado a nuestro alcance para su evaluación técnica, artística y científica. Además, han aparecido códices que se salvaron de la destrucción y sorprendentes megalitos profusamente labrados, verdaderas enciclopedias de piedra (aún indescifradas en su mayor parte), las cuales probablemente fueron sepultadas por los pueblos prehispánicos ante la inminencia de la derrota y que ahora son un legado que tenemos la fortuna de recibir.

En los últimos 200 años han aparecido formidables vestigios de las culturas prehispánicas, que han servido para intentar una aproximación a los verdaderos alcances intelectuales de estos pueblos. El 13 de agosto de 1790, al estarse llevando a cabo trabajos de repavimentación en la Plaza Mayor de México, fue hallada la monumental escultura de la Coatlicue; cuatro meses después, el 17 de diciembre de ese año, a pocos metros de donde aquella piedra se encontraba sepultada emergió la Piedra del Sol. Un año después, el mismo 17 de diciembre, fue hallado el megalito cilíndrico de la Piedra de Tizoc. Luego de ser halladas estas tres piedras fueron inmediatamente estudiadas por el sabio Antonio León y Gama. Sus conclusiones las vertió en su libro Descripción histórica y cronológica de las dos piedras que en ocasión del nuevo empedrado que se está formando en la Plaza Principal de México, se hallaron en ella el año de 1790, con un complemento elaborado después. A partir de él y por dos siglos, los tres monolitos han soportado innumerables trabajos de interpretación y deducción, unos con descabelladas conclusiones y otros con notables descubrimientos sobre la cultura azteca. Sin embargo, poco se ha analizado desde el aspecto de las matemáticas.

En 1928, don Alfonso Caso señaló: […] hay un método al que hasta ahora no se le ha prestado la atención que se merece y que pocas veces se ha intentado; me refiero a la determinación del módulo o medida con el que fue construido un momento”. Y en esta búsqueda se dedicó a medir el llamado Calendario Azteca, la Piedra de Tizoc y el Templete de Quetzalcóatl de Xochicalco encontrando relaciones sorprendentes en ellos. Su trabajo lo publicó en la Revista Mexicana de Arqueología.

Veinticinco años después, en 1953, Raúl Noriega llevó a cabo análisis matemáticos de la Piedra del Sol y 15 “monumentos astronómicos del México antiguo”, y emitió una hipótesis sobre aquélla: “el monumento integra, con fórmulas magistrales, la expresión matemática (en ocasiones de miles de años) de los movimientos del Sol, Venus, la Luna y la Tierra, y también, muy posiblemente, los de Júpiter y Saturno”. Sobre la Piedra de Tizoc, Raúl Noriega supuso que contenía “expresiones de fenómenos y movimientos planetarios esencialmente referidos a Venus”. Sin embargo, sus hipótesis no tuvieron continuidad en otros eruditos de las ciencias matemáticas y la astronomía.

VISIÓN DE LA GEOMETRÍA MEXICA

En 1992, el matemático Oliverio Sánchez empezó a analizar la Piedra del Sol desde un aspecto inédito: el geométrico. En su estudio, el maestro Sánchez dedujo la composición geométrica general de la piedra, hecha a base de pentágonos interrelacionados, que forman un conjunto complejo de círculos concéntricos de espesores diversos y divisiones diferentes. Encontró que en conjunto existían indicadores para construir polígonos regulares exactos. En su análisis, el matemático descifró en la Piedra del Sol los procedimientos que utilizaban los mexicas para construir, con regla y compás, los polígonos regulares de número primo de lados que la geometría moderna tiene catalogados como insolubles; el heptágono y el heptacaidecágono (siete y 17 lados). Además, dedujo el método que utilizaron los mexicas para resolver uno de los problemas reputados como sin solución en la geometría euclidiana: la trisección de un ángulo de 120º, con la cual se construye el nonágono (polígono regular de nueve lados) con un procedimiento aproximado, sencillo y bello.

HALLAZGO TRASCENDENTAL

En 1988, bajo el piso actual del patio del edificio del exarzobispado, ubicado a pocos metros del Templo Mayor, fue hallado otro monolito prehispánico profusamente labrado que es similar en su forma y diseño a la Piedra de Tizoc. Fue denominado Piedra de Moctezuma y trasladado al Museo Nacional de Antropología, donde ha sido colocado en sitio preponderante de la sala mexica con una designación escueta:Cuauhxicalli.

Aunque las publicaciones especializadas (boletines y revistas de antropología) ya han difundido las primeras interpretaciones de los símbolos de la Piedra de Moctezuma relacionándolos con el “culto solar”, y se han identificado los pueblos a que pertenecen los guerreros representados por los glifos toponímicos que los acompañan, este monolito, al igual que otra docena de monumentos con similares diseños geométricos, guarda todavía un secreto indescifrado que va más allá de la función de “recipiente de corazones en el sacrificio humano”.

Pretendiendo conseguir una aproximación al contenido matemático de los monumentos prehispánicos, confronté las piedras de Moctezuma, Tizoc y del Sol para analizar sus alcances geométricos según el sistema instrumentado por el matemático Oliverio Sánchez. Comprobé que la composición y el diseño general de cada monolito son distintos, e incluso llegan a tener una construcción geométrica complementaria. La Piedra del Sol se construyó siguiendo un procedimiento de polígonos regulares de número primo de lados como son los de cinco, siete y 17 lados, y los de cuatro, seis, nueve y múltiplos, pero no contiene solución de los de 11, 13 y 15 lados, los cuales sí se encuentran en las dos primeras piedras. En la Piedra de Moctezuma se ven con claridad los procedimientos de construcción geométrica del undecágono (el cual es su característica y se enfatiza en los once tableros con dobles figuras humanas labradas en su canto) y del tricaidecágono. Por su parte, la Piedra de Tizoc tiene como característica el pentacaidecágono, mediante el cual se representaron las 15 figuras dobles de su canto. Además, en ambas piedras (la de Moctezuma y la de Tizoc) se ven métodos de construcción de polígonos regulares de elevado número de lados (40, 48, 64, 128, 192, 240 y hasta 480).

La perfección geométrica de las tres piedras analizadas permite establecer cálculos complejos de matemáticas. Por ejemplo, la Piedra de Moctezuma contiene indicadores para resolver, con un método ingenioso y sencillo, el problema insoluble por antonomasia de la geometría: la cuadratura del círculo. Es dudoso que los matemáticos del pueblo azteca se plantearan la solución de este milenario problema de la geometría euclidiana. Sin embargo, al resolver la construcción del polígono regular de 13 lados, los geómetras prehispánicos resolvieron magistralmente, y con una buena aproximación de 35 diezmilésimos, la cuadratura del círculo.

Indudablemente, los tres monolitos prehispánicos de los que hemos tratado, junto con otros 12 monumentos de diseño similar que existen en los museos, constituyen una enciplopedia de geometría y altas matemáticas. Cada piedra no es un ensayo aislado; sus dimensiones, módulos, figuras y composiciones, revelan ser eslabones líticos de un complejo instrumental científico que permitió a los pueblos mesoamericanos el disfrute de una vida de bienestar colectivo y de armonía con la naturaleza, lo cual fue mencionado marginalmente en las crónicas y anales que han llegado a nosotros.

Para columbrar ese panorama y entender el nivel intelectual de las culturas prehispánicas de Mesoamérica, será necesario un enfoque renovado y tal vez una revisión humilde de los planteamientos establecidos y aceptados hasta ahora.

Fuente: México desconocido No. 219 / mayo 1995

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